¿En qué se diferencia la entropía binaria de la entropía clásica y cómo se calcula para una variable aleatoria binaria con dos resultados?
La entropía binaria, también conocida como entropía de Shannon, es un concepto de la teoría de la información que mide la incertidumbre o la aleatoriedad de una variable aleatoria binaria con dos resultados. Se diferencia de la entropía clásica en que se aplica específicamente a variables binarias, mientras que la entropía clásica se puede aplicar a variables con cualquier número de resultados.
Para entender la entropía binaria, primero debemos entender el concepto de entropía misma. La entropía es una medida de la cantidad promedio de información o incertidumbre contenida en una variable aleatoria. Cuantifica cuán impredecibles son los resultados de una variable aleatoria. En otras palabras, nos dice cuánta "sorpresa" podemos esperar al observar los resultados de una variable aleatoria.
En el caso de una variable aleatoria binaria con dos resultados, denotaremos estos resultados como 0 y 1. La entropía binaria de esta variable, denotada como H(X), se calcula usando la fórmula:
H(X) = -p(0) * log2(p(0)) – p(1) * log2(p(1))
donde p(0) y p(1) son las probabilidades de observar los resultados 0 y 1, respectivamente. El logaritmo se lleva a la base 2 para garantizar que el valor de entropía resultante se mida en bits.
Para calcular la entropía binaria, necesitamos determinar las probabilidades de los dos resultados. Si las probabilidades son iguales, es decir, p(0) = p(1) = 0.5, entonces la entropía binaria se maximiza, lo que indica máxima incertidumbre. Esto se debe a que ambos resultados son igualmente probables y no podemos predecir cuál ocurrirá. En este caso, la entropía binaria es H(X) = -0.5 * log2(0.5) – 0.5 * log2(0.5) = 1 bit.
Por otro lado, si un resultado es más probable que el otro, la entropía binaria se reduce, lo que indica menos incertidumbre. Por ejemplo, si p(0) = 0.8 y p(1) = 0.2, la entropía binaria es H(X) = -0.8 * log2(0.8) – 0.2 * log2(0.2) ≈ 0.72 bits. Esto significa que, en promedio, necesitamos menos de un bit de información para representar los resultados de esta variable aleatoria binaria.
Es importante señalar que la entropía binaria siempre es no negativa, lo que significa que es mayor o igual a cero. Se maximiza cuando las probabilidades de los dos resultados son iguales y se minimiza cuando un resultado tiene una probabilidad de 1 y el otro tiene una probabilidad de 0.
La entropía binaria mide la incertidumbre o aleatoriedad de una variable aleatoria binaria con dos resultados. Se calcula utilizando la fórmula -p(0) * log2(p(0)) – p(1) * log2(p(1)), donde p(0) y p(1) son las probabilidades de los dos resultados. . El valor de entropía resultante se mide en bits, donde los valores más altos indican mayor incertidumbre y los valores más bajos indican menos incertidumbre.
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