¿Cuáles son las propiedades matemáticas de la entropía y por qué no es negativa?
La entropía es un concepto fundamental en la teoría de la información y juega un papel importante en varios campos, incluida la ciberseguridad y la criptografía cuántica. En el contexto de la entropía clásica, las propiedades matemáticas de la entropía están bien definidas y proporcionan información valiosa sobre la naturaleza de la información y su incertidumbre. En esta respuesta, exploraremos estas propiedades matemáticas y explicaremos por qué la entropía no es negativa.
En primer lugar, definamos la entropía. En teoría de la información, la entropía mide la cantidad promedio de información contenida en una variable aleatoria. Cuantifica la incertidumbre asociada con los posibles resultados de la variable aleatoria. Matemáticamente, para una variable aleatoria discreta X con una función de masa de probabilidad P(X), la entropía H(X) viene dada por:
H(X) = -∑ P(x) log₂ P(x)
donde la suma se toma de todos los valores posibles x de X. El logaritmo generalmente se lleva a la base 2, lo que da como resultado que la entropía se mida en bits.
Ahora, consideremos las propiedades matemáticas de la entropía. La primera propiedad es que la entropía siempre es no negativa. Esto significa que la entropía de una variable aleatoria o de un sistema no puede ser negativa. Para entender por qué la entropía no es negativa, debemos considerar las propiedades de la función logaritmo.
La función logaritmo se define sólo para valores positivos. En la fórmula de entropía, la función de masa de probabilidad P (x) representa la probabilidad de ocurrencia de cada valor x. Dado que las probabilidades no son negativas (es decir, P(x) ≥ 0), se definirá el logaritmo de una probabilidad no negativa. Además, el logaritmo de 1 es igual a 0. Por lo tanto, cada término de la suma de la fórmula de entropía será no negativo o igual a cero. Como resultado, la suma de términos no negativos tampoco será negativa, lo que garantiza que la entropía no sea negativa.
Para ilustrar esta propiedad, consideremos un lanzamiento justo de moneda. La variable aleatoria X representa el resultado del lanzamiento de una moneda, donde X = 0 para cara y X = 1 para cruz. La función de masa de probabilidad P(X) viene dada por P(0) = 0.5 y P(1) = 0.5. Al introducir estos valores en la fórmula de entropía, obtenemos:
H(X) = -(0.5 log₂ 0.5 + 0.5 log₂ 0.5) = -(-0.5 – 0.5) = 1
La entropía del lanzamiento justo de una moneda es de 1 bit, lo que indica que hay un poco de incertidumbre asociada con el resultado del lanzamiento de la moneda.
Además de ser no negativa, la entropía también posee otras propiedades importantes. Una de esas propiedades es que la entropía se maximiza cuando todos los resultados son igualmente probables. En otras palabras, si la función de masa de probabilidad P(x) es tal que P(x) = 1/N para todos los valores posibles de x, donde N es el número de resultados posibles, entonces la entropía se maximiza. Esta propiedad se alinea con nuestra intuición de que existe la máxima incertidumbre cuando todos los resultados son igualmente probables.
Además, la entropía es aditiva para variables aleatorias independientes. Si tenemos dos variables aleatorias independientes X e Y, la entropía de su distribución conjunta es la suma de sus entropías individuales. Matemáticamente, esta propiedad se puede expresar como:
H(X, Y) = H(X) + H(Y)
Esta propiedad es particularmente útil cuando se analiza la entropía de sistemas compuestos o cuando se trata de múltiples fuentes de información.
Las propiedades matemáticas de la entropía en la teoría de la información clásica están bien definidas. La entropía no es negativa, se maximiza cuando todos los resultados son igualmente probables y es aditiva para variables aleatorias independientes. Estas propiedades proporcionan una base sólida para comprender la naturaleza de la información y su incertidumbre.
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