El objetivo del problema de optimización de la máquina de vectores de soporte (SVM) es encontrar el hiperplano que mejor separe un conjunto de puntos de datos en clases distintas. Esta separación se logra maximizando el margen, definido como la distancia entre el hiperplano y los puntos de datos más cercanos de cada clase, conocidos como vectores de soporte. El algoritmo SVM tiene como objetivo crear un modelo que pueda generalizarse bien a datos invisibles centrándose en estos puntos críticos.
Matemáticamente, el problema de optimización SVM se puede formular en el contexto de un problema de clasificación binaria, donde el objetivo es separar puntos de datos en dos clases, normalmente etiquetadas como +1 y -1. Los puntos de datos se representan como vectores en un espacio de características de n dimensiones. Denotemos el conjunto de datos de entrenamiento como , donde el
representa el vector de características del i-ésimo punto de datos, y
representa la etiqueta de clase correspondiente.
El problema de optimización lineal de SVM se puede formular de la siguiente manera:
1. Formulación primaria:
El objetivo es encontrar un hiperplano definido por un vector de peso. y un término de sesgo
que maximiza el margen mientras clasifica correctamente los datos de entrenamiento. El hiperplano se puede representar mediante la ecuación.
.
El problema de optimización se puede expresar como:
sujeto a las restricciones:
Aquí, es la norma al cuadrado del vector de peso, que pretendemos minimizar para maximizar el margen. Las restricciones garantizan que cada punto de datos esté clasificado correctamente y se encuentre en el lado correcto del margen.
2. Formulación dual:
El problema primario se puede transformar en su forma dual utilizando multiplicadores de Lagrange. La formulación dual suele preferirse en la práctica porque permite el uso de funciones del núcleo para manejar límites de decisión no lineales.
El problema de optimización dual se formula como:
sujeto a las restricciones:
Aquí, son los multiplicadores de Lagrange, y
es un parámetro de regularización que controla el equilibrio entre maximizar el margen y minimizar el error de clasificación. La función del núcleo
permite que el algoritmo opere en un espacio de características de alta dimensión sin calcular explícitamente las coordenadas de los datos en ese espacio.
3. SVM no lineal:
Para manejar separaciones no lineales, se emplea el truco del kernel. La idea es mapear el espacio de características original en un espacio de dimensiones superiores utilizando una función de mapeo no lineal. . La función del núcleo
representa el producto interno en este espacio de dimensiones superiores, es decir,
.
Las funciones del kernel comúnmente utilizadas incluyen:
– Núcleo lineal:
– Núcleo polinomial: , donde el
es el grado del polinomio.
– Núcleo de función de base radial (RBF): , donde el
es un parámetro que define el ancho de la función gaussiana.
– Núcleo sigmoideo: , donde el
y
son parámetros de la función sigmoidea.
El problema de optimización dual para SVM no lineales sigue siendo el mismo que en el caso lineal, pero con la función del núcleo. Reemplazo del producto interno.
.
4. Margen blando SVM:
En escenarios del mundo real, es posible que los datos no sean perfectamente separables. Para manejar estos casos, se introduce el concepto de margen blando. El SVM de margen suave permite algunos errores de clasificación al introducir variables de holgura para cada punto de datos.
El problema de optimización primaria para la SVM de margen blando se formula como:
sujeto a las restricciones:
Aquí, el término penaliza los puntos mal clasificados, y
es un parámetro de regularización que controla el equilibrio entre maximizar el margen y minimizar el error de clasificación.
La formulación dual para el SVM de margen blando es similar al caso de margen duro, con restricciones en los multiplicadores de Lagrange. modificado para incorporar el parámetro de regularización
:
5. Ejemplo:
Considere un ejemplo sencillo con un conjunto de datos bidimensional que consta de dos clases. Los puntos de datos son:
Clase +1: ,
,
Clase 1: ,
,
El objetivo es encontrar el hiperplano que mejor separe estas dos clases. Para simplificar, supongamos una SVM lineal con un margen estricto. El problema de optimización primal se puede formular como:
sujeto a las restricciones:
Resolver este problema de optimización produce el vector de peso. y término de sesgo
que definen el hiperplano óptimo. Los vectores de soporte, que son los puntos de datos más cercanos al hiperplano, determinan el margen.
En la práctica, las SVM se implementan utilizando bibliotecas de optimización que resuelven eficientemente la formulación dual. En Python, la biblioteca `scikit-learn` proporciona una implementación de SVM a través de la clase `SVC`, que puede manejar núcleos tanto lineales como no lineales.
Por ejemplo, para entrenar una SVM con un kernel lineal usando `scikit-learn`, se puede usar el siguiente código:
python from sklearn import datasets from sklearn.model_selection import train_test_split from sklearn.svm import SVC from sklearn.metrics import accuracy_score # Load a sample dataset iris = datasets.load_iris() X = iris.data y = iris.target # Use only two classes for binary classification X = X[y != 2] y = y[y != 2] # Split the dataset into training and testing sets X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.3, random_state=42) # Create an SVM classifier with a linear kernel svm = SVC(kernel='linear', C=1.0) # Train the SVM classifier svm.fit(X_train, y_train) # Make predictions on the test set y_pred = svm.predict(X_test) # Evaluate the accuracy of the classifier accuracy = accuracy_score(y_test, y_pred) print(f'Accuracy: {accuracy:.2f}')
En este ejemplo, la clase `SVC` se utiliza para crear un clasificador SVM con un núcleo lineal. El clasificador se entrena en el conjunto de entrenamiento y se evalúa en el conjunto de prueba, y la precisión de las predicciones se imprime en la consola.
El problema de optimización SVM es un aspecto fundamental del aprendizaje automático y proporciona un método robusto y versátil para tareas de clasificación. Al maximizar el margen, las SVM pretenden lograr un buen rendimiento de generalización, lo que las convierte en una herramienta valiosa en diversas aplicaciones.
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