¿Por qué en FF GF (8) el polinomio irreducible en sí no pertenece al mismo campo?
En el campo de la criptografía clásica, en particular en el contexto del criptosistema de cifrado por bloques AES, el concepto de Campos de Galois (GF) desempeña un papel importante. Los Campos de Galois son campos finitos que se utilizan para diversas operaciones en AES, como la multiplicación y la división. Un aspecto importante de los Campos de Galois es la existencia de polinomios irreducibles, que son polinomios que no se pueden factorizar en polinomios de grado inferior sobre el mismo campo.
En el caso de GF(8), que es un campo de Galois con 8 elementos, el polinomio irreducible utilizado es x^3 + x + 1. Se elige este polinomio porque satisface las propiedades necesarias para construir el campo de Galois. Sin embargo, es importante señalar que este polinomio irreducible en sí no pertenece al mismo campo.
Para entender por qué el polinomio irreducible no pertenece a GF(8), debemos considerar la definición de campo. En matemáticas, un campo es un conjunto de elementos con dos operaciones binarias, normalmente suma y multiplicación, que satisfacen determinadas propiedades. Una de estas propiedades es el cierre, lo que significa que el resultado de una operación en dos elementos cualesquiera del campo también es un elemento del campo.
En el caso de GF(8), los elementos del campo están representados por polinomios de grado menor que 3 con coeficientes en GF(2), que es el campo binario. La operación de suma en GF(8) se realiza en módulo 2, lo que significa que los coeficientes de los polinomios se suman en módulo 2. La operación de multiplicación, por otro lado, se realiza en módulo del polinomio irreducible x^3 + x + 1.
Ahora, consideremos el polinomio irreducible x^3 + x + 1. Si intentamos sumar o multiplicar este polinomio con cualquier otro polinomio en GF(8), no obtendremos un polinomio que satisfaga la propiedad de cierre. Por ejemplo, si sumamos x^3 + x + 1 con x^2, obtenemos x^3 + x^2 + x + 1. Este polinomio tiene un grado mayor que 2, por lo que no pertenece a GF(8 ).
De manera similar, si multiplicamos x^3 + x + 1 por x^2, obtenemos x^5 + x^3 + x^2. Para llevar este polinomio a GF(8), necesitamos realizar la multiplicación módulo x^3 + x + 1. Sin embargo, dado que x^5 tiene un grado mayor que 3, no podemos reducirlo módulo x^3 + x + 1. para obtener un polinomio en GF(8).
Por lo tanto, el polinomio irreducible x^3 + x + 1 no pertenece a GF(8) porque no satisface la propiedad de cierre del campo. Es importante comprender esta distinción porque el polinomio irreducible se utiliza en AES para diversas operaciones, pero no es un elemento del campo en sí.
En resumen, en el contexto de GF(8) y el criptosistema de cifrado por bloques AES, se utiliza el polinomio irreducible x^3 + x + 1 para construir el campo de Galois. Sin embargo, este polinomio irreducible en sí mismo no pertenece a GF(8) porque no satisface la propiedad de clausura del campo. Comprender esta distinción es importante para implementar y analizar correctamente el algoritmo AES.
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