¿Cuántas partes tiene una clave pública y privada en el cifrado RSA?
El criptosistema RSA, que lleva el nombre de sus inventores Rivest, Shamir y Adleman, es uno de los sistemas criptográficos de clave pública más conocidos. Se utiliza ampliamente para la transmisión segura de datos. RSA se basa en las propiedades matemáticas de los números primos grandes y la dificultad computacional de factorizar el producto de dos números primos grandes. El sistema se basa en un par de claves: una clave pública, que se utiliza para el cifrado, y una clave privada, que se utiliza para el descifrado. Cada una de estas claves comprende componentes específicos que trabajan juntos para permitir una comunicación segura.
En el criptosistema RSA, la clave pública consta de dos partes:
1. El módulo (n): Este es un número entero grande que se obtiene multiplicando dos números primos distintos, p y q. La seguridad del algoritmo RSA depende de la dificultad de factorizar este gran número en sus componentes primos. El módulo se utiliza tanto en la clave pública como en la privada.
2. El exponente público (e): Se trata de un número entero más pequeño que normalmente se elige como número primo, como 3, 17 o 65537. El exponente público se utiliza en el proceso de cifrado y forma parte de la clave pública. Se elige de modo que sea primo relativo con respecto a (p-1)(q-1), donde pyq son los factores primos del módulo.
La clave pública se representa así como (n, e).
La clave privada también consta de dos partes:
1. El módulo (n): El mismo módulo utilizado en la clave pública también se utiliza en la clave privada.
2. El exponente privado (d): Este es un número entero grande calculado utilizando el exponente público e y el tociente del módulo n (denotado como φ(n)). El exponente privado se calcula de manera que satisfaga la relación de congruencia:
![\[ e \cdot d \equiv 1 \ (\text{mod} \ \phi(n)) \]](https://eitca.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7353051210ae17c02dd29c98bc7e214a_l3.png "Prestado por QuickLaTeX.com")
donde φ(n) = (p-1)(q-1). El exponente privado d se utiliza en el proceso de descifrado.
La clave privada se representa así como (n, d).
Para ilustrar el proceso de generación de claves RSA, consideremos un ejemplo simplificado con números primos pequeños para mayor claridad:
1. Elija dos números primos distintos, p y q:
Sean p = 61 y q = 53.
2. Calcular el módulo n:
![\[ n = p \veces q = 61 \veces 53 = 3233 \]](https://eitca.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a70cc215f2707b0d40e7f43c456c6c66_l3.png "Prestado por QuickLaTeX.com")
3. Calcular el totiente φ(n):
![\[ \phi(n) = (p-1) \times (q-1) = (61-1) \times (53-1) = 60 \times 52 = 3120 \]](https://eitca.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1c4e209934c15ccf59db6577a26f5093_l3.png "Prestado por QuickLaTeX.com")
4. Elija un exponente público e:
Sea e = 17, que es un exponente público de uso común y es primo relativo con respecto a 3120.
5. Calcular el exponente privado d:
El exponente privado d es el inverso multiplicativo modular de e módulo φ(n). Esto significa que necesitamos encontrar d tal que:
Usando el algoritmo euclidiano extendido, encontramos que d = 2753.
Así, la clave pública es (n, e) = (3233, 17) y la clave privada es (n, d) = (3233, 2753).
Para comprender cómo funciona el cifrado y descifrado RSA, considere el siguiente ejemplo:
1. Encriptación:
Supongamos que Alice quiere enviarle un mensaje confidencial a Bob. Conoce la clave pública de Bob (n, e) = (3233, 17). Alice convierte su mensaje de texto plano en un número entero m tal que 0 ≤ m < n. Por simplicidad, sea m = 65.
Alice calcula el texto cifrado c usando la clave pública de Bob:
![\[ c = m^e \ (\text{mod} \ n) = 65^{17} \ (\text{mod} \ 3233) \]](https://eitca.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ee5959ca2617b0130c2d318d04afb7c4_l3.png "Prestado por QuickLaTeX.com")
Calculando la expresión anterior obtenemos:
![\[ c = 2790 \]](https://eitca.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-cb55b3ed99fc549354f621a361b8765a_l3.png "Prestado por QuickLaTeX.com")
2. Descifrado:
Bob recibe el texto cifrado c = 2790 y usa su clave privada (n, d) = (3233, 2753) para descifrarlo. Bob calcula el mensaje de texto plano m usando su clave privada:
![\[ m = c^d \ (\text{mod} \ n) = 2790^{2753} \ (\text{mod} \ 3233) \]](https://eitca.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-75ad0ecb89bb308d535e20f769abd11d_l3.png "Prestado por QuickLaTeX.com")
Calculando la expresión anterior obtenemos:
![\[ metro = 65 \]](https://eitca.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-22a83cdbd3cb370d814ccc3cee5604a9_l3.png "Prestado por QuickLaTeX.com")
Por lo tanto, Bob recupera exitosamente el mensaje original m = 65.
Es importante tener en cuenta que en implementaciones prácticas, los números primos p y q se eligen para que sean muy grandes (normalmente cientos de dígitos) para garantizar la seguridad del criptosistema RSA. La seguridad de RSA depende del hecho de que, si bien es computacionalmente fácil multiplicar dos números primos grandes para obtener el módulo n, es extremadamente difícil factorizar n nuevamente en sus componentes primos p y q. Esta dificultad es lo que hace de RSA un sistema criptográfico seguro.
Además, la elección del exponente público e es importante. Si bien e = 3 o e = 65537 son valores comúnmente utilizados, e siempre debe elegirse de modo que sea relativamente primo con φ(n). Esto garantiza que se pueda calcular el exponente privado d y que los procesos de cifrado y descifrado funcionen correctamente.
En aplicaciones prácticas, RSA se utiliza a menudo junto con otras técnicas criptográficas para mejorar la seguridad y la eficiencia. Por ejemplo, RSA se usa comúnmente para cifrar una clave simétrica, que luego se usa para cifrar el mensaje real usando un algoritmo de clave simétrica más rápido como AES (Estándar de cifrado avanzado). Este enfoque aprovecha las fortalezas de la criptografía simétrica y asimétrica.
Además, RSA se usa ampliamente en firmas digitales, donde la clave privada se usa para firmar un mensaje y la clave pública se usa para verificar la firma. Esto proporciona autenticación e integridad, asegurando que el mensaje no haya sido manipulado y que provenga de una fuente legítima.
El criptosistema RSA es un elemento fundamental de la criptografía de clave pública moderna. Comprender la estructura y función de las claves públicas y privadas en RSA es esencial para cualquiera que estudie o trabaje en el campo de la ciberseguridad. La clave pública consta del módulo (n) y el exponente público (e), mientras que la clave privada consta del módulo (n) y el exponente privado (d). Estas claves funcionan juntas para permitir el cifrado y descifrado seguros, garantizando la confidencialidad y la integridad de los datos en una amplia gama de aplicaciones.
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