¿Existe una contradicción entre la definición de NP como una clase de problemas de decisión con verificadores de tiempo polinomial y el hecho de que los problemas de la clase P también tienen verificadores de tiempo polinomial?
La clase NP, que significa tiempo polinómico no determinista, es fundamental para la teoría de la complejidad computacional y abarca problemas de decisión que tienen verificadores de tiempo polinómico. Un problema de decisión es aquel que requiere una respuesta de sí o no, y un verificador en este contexto es un algoritmo que verifica la exactitud de una solución determinada.
Es importante distinguir entre resolver un problema (cálculo) y verificar una solución (verificación). En NP, el enfoque se centra en si existe un verificador en tiempo polinómico que pueda confirmar la corrección de una solución.
La clase P, que representa el tiempo polinómico, incluye problemas de decisión que pueden resolverse mediante una máquina determinista de Turing dentro del tiempo polinómico. Por lo tanto, para cada problema en P, no sólo hay un algoritmo de tiempo polinomial para encontrar una solución, sino que también hay un algoritmo de tiempo polinomial para verificar una solución.
La aparente contradicción radica en la observación de que todo problema en P, que inherentemente tiene un algoritmo de resolución en tiempo polinomial, también posee un verificador en tiempo polinomial. Sin embargo, esto no contradice la definición de NP. La característica definitoria de NP es la existencia de un verificador de tiempo polinomial, independientemente de cuánto tiempo lleve encontrar la solución. Esto significa que todos los problemas en P también están en NP, ya que sus soluciones pueden verificarse en tiempo polinomial.
Por ejemplo, consideremos el problema de la prueba de números primos. Este problema se puede plantear de dos maneras: generar números primos y verificar si un número determinado es primo. El Tamiz de Eratóstenes es un algoritmo para generar todos los números primos hasta un cierto límite y lo hace de manera eficiente, pero su complejidad temporal no es polinómica en el sentido estricto utilizado en la teoría de la complejidad computacional; a menudo se denota como O(n log log n), que es mejor que lineal pero no estrictamente polinómico según la definición de P. Por otro lado, el problema de verificar si un número dado es primo (prueba de números primos) es una tarea diferente. Algoritmos eficientes como la prueba de primalidad de AKS permiten la verificación de primos en tiempo polinomial. Por lo tanto, el problema de prueba de números primos, en el contexto de la verificación, cae en la clase P, al igual que NP, porque una solución (si un número es primo) se puede verificar en tiempo polinomial. Esto demuestra que, si bien la generación de números primos y las pruebas de números primos están relacionadas, implican consideraciones diferentes en términos de complejidad computacional.
En conclusión, la definición de NP con verificadores de tiempo polinomial se alinea con la naturaleza de P. La distinción no está en el paso de verificación sino en el proceso de encontrar soluciones: los problemas de P se pueden resolver y verificar en tiempo polinómico, mientras que los problemas de NP son verificables en tiempo polinomial, pero no siempre se sabe si se pueden resolver en tiempo polinomial.
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