Si tenemos dos MT que describen un lenguaje decidible, ¿la cuestión de la equivalencia sigue siendo indecidible?
En el campo de la teoría de la complejidad computacional, el concepto de decidibilidad juega un papel fundamental. Se dice que un lenguaje es decidible si existe una máquina de Turing (TM) que puede determinar, para cualquier entrada dada, si pertenece al lenguaje o no. La decidibilidad de un lenguaje es una propiedad importante, ya que nos permite razonar sobre el lenguaje y sus propiedades de manera algorítmica.
La cuestión de equivalencia para las máquinas de Turing se refiere a determinar si dos MT determinadas reconocen el mismo idioma. Formalmente, dadas dos MT M1 y M2, la pregunta de equivalencia pregunta si L(M1) = L(M2), donde L(M) representa el lenguaje reconocido por la MT M.
Se sabe que el problema general de determinar la equivalencia de dos MT es indecidible. Esto significa que no existe un algoritmo que pueda decidir siempre si dos memorias de traducción arbitrarias reconocen o no el mismo idioma. Este resultado fue demostrado por Alan Turing en su trabajo fundamental sobre computabilidad.
Sin embargo, es importante señalar que este resultado es válido para el caso general de MT arbitrarias. En el caso específico en el que ambas MT describen lenguajes decidibles, la cuestión de la equivalencia se vuelve decidible. Esto se debe a que los idiomas decidibles son aquellos para los cuales existe una MT que puede decidir la pertenencia al idioma. Por lo tanto, si dos MT describen lenguajes decidibles, podemos construir una nueva MT que decida su equivalencia.
Para ilustrar esto, consideremos un ejemplo. Supongamos que tenemos dos TM M1 y M2 que describen lenguajes decidibles. Podemos construir un nuevo TM M que decida su equivalencia de la siguiente manera:
1. Dada una entrada x, simule M1 en x y M2 en x simultáneamente.
2. Si M1 acepta x y M2 acepta x, entonces acepte.
3. Si M1 rechaza x y M2 rechaza x, entonces acepte.
4. En caso contrario, rechazar.
Por construcción, el TM M aceptará una entrada x si y sólo si tanto M1 como M2 aceptan x, o tanto M1 como M2 rechazan x. Esto significa que M decide la equivalencia de M1 y M2 para cualquier entrada x dada.
Si bien el problema general de determinar la equivalencia de dos MT arbitrarias es indecidible, si las MT describen lenguajes decidibles, la cuestión de la equivalencia se vuelve decidible. Esto se debe a que una MT puede decidir los lenguajes decidibles, lo que nos permite construir una MT que decida su equivalencia. La capacidad de decisión de la pregunta de equivalencia para las MT que describen lenguajes decidibles proporciona información importante sobre la complejidad computacional de estos lenguajes.
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