La entropía de una variable aleatoria se refiere a la cantidad de incertidumbre o aleatoriedad asociada con la variable. En el campo de la ciberseguridad, particularmente en la criptografía cuántica, es importante comprender las condiciones bajo las cuales la entropía de una variable aleatoria desaparece. Este conocimiento ayuda a evaluar la seguridad y confiabilidad de los sistemas criptográficos.
La entropía de una variable aleatoria X se define como la cantidad promedio de información, medida en bits, necesaria para describir los resultados de X. Cuantifica la incertidumbre asociada con la variable, donde una entropía más alta indica una mayor aleatoriedad o imprevisibilidad. Por el contrario, cuando la entropía es baja o desaparece, implica que la variable se ha vuelto determinista, lo que significa que sus resultados se pueden predecir con certeza.
En el contexto de la entropía clásica, las condiciones bajo las cuales la entropía de una variable aleatoria desaparece dependen de la distribución de probabilidad de la variable. Para una variable aleatoria discreta X con una función de masa de probabilidad P(X), la entropía H(X) viene dada por la fórmula:
H(X) = – Σ P(x) log2 P(x)
donde la suma se toma sobre todos los valores posibles x que X puede tomar. Cuando la entropía H(X) es igual a cero, significa que no hay incertidumbre o aleatoriedad asociada con X. Esto ocurre cuando la función de masa de probabilidad P(X) asigna una probabilidad de 1 a un solo resultado y una probabilidad de 0 a todos. otros resultados. En otras palabras, la variable se vuelve completamente determinista.
Para ilustrar este concepto, consideremos un lanzamiento justo de moneda. La variable aleatoria X representa el resultado del lanzamiento, con dos valores posibles: cara (H) o cruz (T). En este caso, la función de masa de probabilidad es P(H) = 0.5 y P(T) = 0.5. Calculando la entropía usando la fórmula anterior:
H(X) = – (0.5 * log2(0.5) + 0.5 * log2(0.5))
= – (0.5 * (-1) + 0.5 * (-1))
= – (-0.5 – 0.5)
= – (-1)
= 1 bit
La entropía del lanzamiento de una moneda es de 1 bit, lo que indica que existe incertidumbre o aleatoriedad asociada con el resultado. Sin embargo, si la moneda está sesgada y siempre cae en cara, la función de masa de probabilidad se convierte en P(H) = 1 y P(T) = 0. El cálculo de entropía se convierte en:
H(X) = – (1 * log2(1) + 0 * log2(0))
= – (1 * 0 + 0 * indefinido)
= – (0 + indefinido)
= indefinido
En este caso, la entropía no está definida porque el logaritmo de cero no está definido. Sin embargo, implica que la variable X se ha vuelto determinista, ya que siempre produce cara.
La entropía de una variable aleatoria en el contexto de la entropía clásica desaparece cuando la distribución de probabilidad asigna una probabilidad de 1 a un único resultado y una probabilidad de 0 a todos los demás resultados. Esto indica que la variable se vuelve determinista y pierde su aleatoriedad o imprevisibilidad.
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