¿Cómo mide la entropía clásica la incertidumbre o la aleatoriedad en un sistema dado?
La entropía clásica es un concepto fundamental en el campo de la teoría de la información que mide la incertidumbre o aleatoriedad en un sistema determinado. Proporciona una medida cuantitativa de la cantidad de información necesaria para describir el estado de un sistema o la cantidad de incertidumbre asociada con el resultado de un experimento.
Para comprender cómo la entropía clásica mide la incertidumbre o la aleatoriedad, primero definamos qué es la entropía. La entropía, denominada H, es una medida matemática de la cantidad promedio de información contenida en un mensaje, señal o conjunto de datos. Normalmente se mide en bits o unidades naturales (nats).
En el contexto de la entropía clásica, consideramos una distribución de probabilidad discreta sobre un conjunto de resultados posibles. Digamos que tenemos un sistema con n resultados posibles, y cada resultado tiene una probabilidad de ocurrencia dada por p(i), donde i varía de 1 a n. La entropía clásica H de este sistema viene dada por la fórmula:
H = – ∑ (p(i) * log2(p(i)))
En esta fórmula, la suma se toma de todos los resultados posibles i, y log2 denota el logaritmo en base 2. El signo negativo se incluye para garantizar que la entropía sea siempre una cantidad positiva.
La intuición detrás de esta fórmula es que cuanto más incierto o aleatorio sea un sistema, mayor será su entropía. Si todos los resultados son igualmente probables, la entropía estará en su valor máximo. Por el contrario, si es seguro que ocurrirá un resultado, la entropía será cero.
Para ilustrar este concepto, consideremos un lanzamiento justo de moneda. En este caso, hay dos resultados posibles: cara y cruz. Cada resultado tiene una probabilidad de 1/2. Al introducir estos valores en la fórmula de entropía, obtenemos:
H = – [(1/2) * log2(1/2) + (1/2) * log2(1/2)] = – [(1/2) * (-1) + (1/2) * (-1)] = – (-1/2 + -1/2)
= – (-1)
= 1
Entonces, la entropía de un lanzamiento justo de moneda es de 1 bit. Esto significa que, en promedio, se necesita 1 bit de información para describir el resultado de un lanzamiento justo de moneda.
Ahora, consideremos un lanzamiento de moneda sesgado en el que un resultado, digamos cara, tiene una probabilidad de 1 y el otro resultado, cruz, tiene una probabilidad de 0. En este caso, la entropía se puede calcular como:
H = – [1 * log2(1) + 0 * log2(0)] = – [1 * 0 + 0 * indefinido] = – 0
= 0
Como era de esperar, la entropía de un lanzamiento de moneda sesgado en el que un resultado es seguro es 0. Esto significa que no se requiere información adicional para describir el resultado de dicho experimento.
La entropía clásica mide la incertidumbre o la aleatoriedad en un sistema determinado cuantificando la cantidad de información requerida para describir el estado del sistema o la incertidumbre asociada con el resultado de un experimento. Proporciona un marco matemático para analizar y comparar la aleatoriedad de diferentes sistemas o distribuciones de probabilidad.
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